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Author: Lokilankaaa

密码学/考试范围+简答by xw.txt

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+enigma:加密和解密过程
+    plugboard（10组字母互换位置）->三个齿轮（外部设置message key，内部固定ring setting，计算delta，进入加delta，出去-delta）-> 反射板 -> 反向经过三个齿轮（同样加入delta计算）-> plugboard
+    齿轮转动：每次按键先转动齿轮再输入，double step：当中间的齿轮在临转点的时候，无论第一个齿轮怎么转，第二个齿轮都会转
+
+md5:填充算法，init，update，final是做什么的
+    按照每块64字节计算，如果块大小<56 则在末尾补上0x80,0x00...共56-n个字节
+    当n在[56,63]则在末尾补充64-n+56个字节，最后在后面补上8个字节记录message的不包括填充的总共位数
+    typedef struct _MD5_CTX {
+        unsigned long  state[4]; /* 128位摘要 */
+        unsigned long  count[2]; /* 已处理的报文的二进制位数,最大值=2^64-1 */
+        unsigned char  data[64]; /* 64字节message块 */
+    } 
+    init：count 归零，state设置初始值
+    update：增加count值即报文位数，分块（64字节）计算并更新到state，多余的存在data里等待之后的填充
+    final：为最后一块填充若小于56字节则补充道56，若大于补充完当前块并补充道下一个56字节，最后增加8字节报文长度
+
+sha:填充算法，位数
+    sha-1散列算法计算出来的hash值达160位，即20字节，比md5多了32位。
+    sha-1也是分块计算，每块也是64字节，当最后一块不足64字节也按照md5的方式进行填充。
+    数据块的最后一定要补上表示报文总共位数的8个字节。
+
+rc4:
+
+ecb:电子密码簿
+    先对明文分组[p1,p2,....,pn]，有一个统一的密钥key
+    cj = Ek(pj)
+    pj = Ek(cj)
+    加密解密可并行，但同样内容的明文，密文一样
+
+cbc:密文块连接模式
+    还是先分组[p1,p2,....,pn]和一个初识向量c0，和密钥k
+    cj = Ek(pj 亦或 cj-1)
+    pj = Ek(cj) 亦或cj-1
+    加密串行，解密并行
+
+cfb:同上，密文偷窃
+    分组[p1,p2,....,pn]每组8位，初始随机种子x1，和密钥k
+加密:cj = pj 亦或 L8(Ek(xj))
+    xj+1 = R56(xj) || cj
+解密:pj = cj 亦或 L8(Ek(xj))
+    xj+1 = R56(xj) || cj
+    密文传输错误可恢复，因为每次亦或的串是上一次密文接到最后，因此即便有一个密文是错的，几轮迭代下来错误的密文会倍左移出去
+
+密文偷窃:
+    ecb:
+    不一定要填充，它通过更改消息的最后两个块的处理来实现这一点。 除了最后两个块之外，所有块的处理都保持不变，
+    但是倒数第二个块的密文的一部分被"窃取 "了，用来填充最后一个明文块。 填充的最后一块，然后像往常一样加密。
+    cbc:
+    要先填充
+    
+
+des:流程，s_box（6位输入，4位输出过程），位的打乱，16轮循环做了什么事情
+    是分块的每块64字节，des是处理某一个块的算法
+    密钥部分：
+    （1）通过key_perm_table将每个字节的最右位丢弃并打乱得到56bit
+    （2）分成个左右各28bit两部分各循环左移，左移的位数由16轮循环轮次index来在key_rol_steps[16]确定左移位数
+    （3）再将两部分合起来通过key_56bit_to_48bit_table[48]丢弃8位并打乱得到48位subkey，一开始set key的时候就吧16个subkey就计算好保存
+
+    数据部分：
+    （1）64位明文要先通过ip[64]打乱，然后分成左右各32位，Lj-1和Rj-1，将Rj-1通过plaintext_32bit_expanded_to_48bit_table[48]拓展到48位
+        （上述的ip和fp可以用高阶表来运作，其原理就是枚举所有的可能ip_perm[16][16][8]分成16组每组4bit共16种变化最后都输出8字节然后所有的组或起来）
+    （2）Rj-1和当前轮次的subky亦或
+    （3）通过sbox[8][64]，sbox就是将48位分成8组6bit然后最左和最有两位组成sbox行号，中间4位组成sbox列号，进入sbox得到4位最后组合成32位，再用sbox_perm_table[32]打乱
+    （4）最后和Lj-1亦或，Rj = 亦或的结果，Lj = Rj-1，得到密文64位
+
+    三重DES 
+        c = E(D(E(p,k1),k2),k3);
+        p = D(E(D(c,k3),k2),k1);
+
+aes:每一轮循环做了什么事情，几个步骤sbox。shiftrow，mixcolumn，农夫算法，乘法求逆（扩展欧几里得）
+    有三种密钥：16字节，24字节，32字节。明文和密文都是16字节
+    unsigned char a[4] = {0x03,0x01,0x01,0x02};
+    a^-1 = {0x0b,0x0d,0x09,0x0e} 
+    AddRoundKey(p,k); //将明文p中16字节与k中16字节逐字节异或
+    for(int i=1;i<=10;i++){
+        ByteSub(p,16); //p[i] = sbox[p[i]] ,这里sbox每个元素的值各不相同 sbox[256]
+        MixColumnInverse(p,a,0);
+        ShiftRow(p);// 对p所指向的4*4矩阵做逐行循环左移操作,第0行: 不移动,第1行: 左移1字节,第2行: 左移2字节,第3行: 左移3字节
+        if(i!=10) MixColumn(p,a,1);
+        else MixColumn(p,a,0); //don't mul
+        AddRoundKey(p,k+i*(4*4));
+    }
+    农夫算法x * y mod 0x11B:初始p=0，循环8次，x左移，y右移，如果y右移出一个1则p ^= x, 若x左移出一个1，则x ^= 0x11b。（同理mod 0x101 则x ^= 0x101）
+    MixColumn(p,a,1)：对p指向的数组按照一列一列排下来变成2维矩阵，把a变成 2311\1231\1123\3112 矩阵 然后对每一列左乘a做mod x^4+1乘法（乘法是mod 11b 加法是亦或）
+                     然后把每一列的结果再一行一行组成1维数组
+    aes set key
+
+rsa:证明，代码里用到的函数，openssl大数运算常用函数（加法乘法，求逆等）
+    算法流程：
+    1、随机选取两个不等大素数p、q
+    2、计算n=pq
+    3、选择一个素数e使他和(p-1)(q-1)互素
+    4、计算e在模(p-1)(q-1)的逆元d
+    5、(e,n)为公钥，(d,n)为私钥
+    6、加密：c=m^e mod n,解密：m = c^d mod n
+
+    加密:A用B公钥加密，B用B私钥解密
+    数字签名：先用md5计算报文摘要再用A私钥加密摘要，作为签名。B获得摘要和报文用A公钥解密签名再计算报文md5进行比对
+            签名为什么要对m进行操作而不是对L本身进行操作，m永远是128位，而L长度很长，加密以及运输速度会有影响
+
+    SA作注册码
+    (1)软件打开时显示一个机器码
+
+    其中机器码m'=rsa(mac, 公钥)
+
+    (2)软件作者: mac=rsa(m', 私钥)
+
+    注册码sn=(mac, 私钥)
+
+    (3)软件验证注册码:rsa(sn, 公钥)==mac
+
+ecc:点乘法，n倍的g=0，群循环？上课的例子，加密解密源代码，签名的算法
+    椭圆曲线在素域Z_p中的运算
+    - 一般的线与椭圆曲线有3个交点，设为P,Q,R,有 P+Q+R = 0,P+Q=过R作平行y轴的直线与椭圆曲线交点R'
+    - 相切的直线 P,Q两点，切于Q P+Q+Q = 0
+    - P,Q与y轴平行: P+Q = 0
+    - 单P与y轴平行：P+P = 0
+    - 运算规则:
+    - P+0=0+P = P
+    - P = (x1,y1),Q=(x2,y2)如果有x1 = x2且y1 =  y2 = 0 或x1 = x2且y1= -y2 !=0 则有P+Q = 0
+    - 一般情况下,运算规则如下, P = (x1,y1), Q = (x2,y2),P+Q = (x3,y3)有
+        $x_3 = k^2 - x1 - x2$
+        $y_3 = k(x_1-x_3) - y_1$
+        其中
+        k = (y_2-y_1)/(x_2-x_1) \ \ \ \  P\neq Q$
+        k = (3x_1^2+a)/(2y_1)\ \ \ \ P=Q$
+
+    加密：m为明文，选取椭圆曲线，基点和一个d<n（G的阶）
+        公钥：R = dG,(R,G), 私钥：(d, G)
+        r = (k*G) k为一个小于n的随机数
+        s = m*(k*R) mod n
+        密文就是r,s
+    解密：m = s/(dr) = m*(k*R) / d*(k*G) = m*(k*d*G) / d*(k*G) = m
+
+    ecdsa
+    签名：r = k*G k是随机数
+        s = (m+r*d)/k m是明文或者hash，d是私钥
+    验证：(m/s)*G + (r/s)*R == r 证明过程就是带入
+    ecnr 
+    签名：r = k*G+m
+        s = k-r*d
+    验证：r - (s*G+r*R) == m, 证明就是带入    
+    
+证明题：
+1、rsa证明:
+    设m是明文，c是密文，c=m^e mod n,现证明m=c^d mod n
+    因为fai(n) = fai(p*q) = fai(p) * fai(q) = (p-1)(q-1)
+    因为ed=1 mod (p-1)(q-1)
+    所以一定可以找到一个k使得ed = 1 + k(p-1)(q-1)成立
+    于是c^d = m^ed = m^(1+k(q-1)(p-1)) = m * m^k(q-1)(p-1) = m * m^(fai(n))k = m * 1^k mod n
+
+    上面证明的前提是gcd(m,n)=1 当gcd(m,n) != 1时，则一定有gcd(m,n) = p或gcd(m,n)=q。先假设gcd(m,n) = p,则m与q一定互素,
+    于是有
+    m^fai(q) = 1 mod q --> m^(q-1) = 1 mod q --> m^k(q-1)(p-1) = 1 mod q
+    --> m^k*fai(n) = 1 mod q --> m^k*fai(n) = qs + 1 --> m * m^k*fai(n) = mqs + m -->
+    m^(fai(n)*k+1) = cpqs + m --> m^(fai(n)*k+1) = m mod n --> m^ed = m mod n
+
+2、欧拉准则
+    若方程有解y属于Zp，则x是模p的平方剩余：y^2 = x mod p
+    设p>2是一个素数，x是一个整数,gcd(x,p)=1,则x是模p的平方剩余的充要条件是：
+        x^((p-1)/2) = 1 (mod p)
+    （1）必要性
+        因为y^2 = x mod p，并且gcd(x,p)=1，所以一定有gcd(y,p)=1
+        根据fermat小定理得:y^(p-1) = 1 (mod p)因此
+        x^((p-1)/2) = (y^2)^((p-1)/2) = y^(p-1) = (1 mod p)
+     (2) 充分性
+        因为x^((p-1)/2) = 1 (mod p)，且有x mod p 属于Zp，不妨设x
+        属于Zp，而Zp={0,1,2,...,p-1}是有限域，Zp*={1,2,3,...,p-1}
+        在模p乘法运算下是一个循环群，所以一定存在Zp*的一个生成元b，
+        使得下式成立
+            x=b^i mod p, 1<= i <=p-1
+        例如: 1=4^2 mod 5; 2=3^3 mod 5; 3=2^3 mod 5;
+        因此，1=x^((p-1)/2) = (b^i)^((p-1)/2) = (b^(p-1))^(i/2) mod p
+        因为b的阶是p-1，即b^(p-1) mod p = 1,所以i必定是偶数，
+        于是x模p的平方根有整数解，并且其值为正负b^(i/2)mod p。
+        （因为b的阶是p-1，任意的b^k=1 mod p,一定有p-1整除k
+        所以ix(p-1)/2是p-1的倍数，从而i是偶数）
+
+
+3、gcd(n,u)=an+bu
+    gcd(n,u) = 1 --> u一定有u^-1 （mod n）
+    1 = an+bu (mod n)
+    1 = bu (mod n)
+    b就是n的逆元
+    -----------------------
+    证明：gcd(n,u)=an+bu
+    设n/u的商为q，余数为r，则有
+    r = n - q*u
+    若g(n,u) = k， 则r里也一定包含因子k，因此
+    gcd(n,u) = gcd(u,r)
+    由此可以求的gcd(n,u)的欧几里得算法
+    ```
+    y=n;
+    x=u;
+    while(x != 0) {
+        q = y / x;
+        r = y % x;
+        y = x;
+        x = r;
+    }
+    ```
+    当除数x=0时,被除数y=gcd(n,u)
+    先用数学归纳法证明上述算法中的被除数y以及除数x可以表示称
+    yi = a1i*n + b1i*u   (a)
+    xi = a2i*n + b2i*u   (b)
+
+    当i=0时，只要a1i=1，b1i=0,a2i=0,b2i=1则(a)(b)成立
+    当i=j是，(a)(b)成立，则当i=j+1时，
+    yj+1 = xj = a2j*n + b2j*u
+    xj+1 = yj % xj = a1j*n + b1j*u - qj*(a2j*n + b2j*u)
+         = (a1j-qj*a2j)*n + (b1j-qj*b2j)*u
+         = a'*n + b'*u
+    得证
+    其中qj表示欧几里得算法第j次计算出来的商，i=j+1时，取
+        a1j+1 = a2j, b1j+1 = b2j
+        a2j+1 = (a1j-qj*a2j), b2j+1 = (b1j-qj*b2j)
+
+4、中国剩余定理
+    x = a1 mod m1
+    x = a2 mod m2
+    x = a3 mod m3
+    当m1、m2、m3互素时，上述方程组的解x是唯一的，
+    其值=Y mod M
+    Y = (
+        a1*(m2*m3)* ((m2*m3)^-1 mod m1) +
+        a2*(m1*m3)* ((m1*m3)^-1 mod m2) +
+        a3*(m1*m2)* ((m1*m2)^-1 mod m3) 
+        )
+    M=m1*m2*m3
+    先证明Y mod mi是方程组的一个解
+    ------------------------
+    设m1，m2，m3,...mr两两互素，则以下同余方程组
+        x = ai(mod mi), i=1,2,3,...,r （a）
+    模M=m1m2m3...mr的唯一解为
+    x = \sigma_{i=1}^r ai*Mi*（Mi^-1 mod mi) mod M, 其中Mi = M/mi (b)
+
+    (1) 先证明\sigma_{i=1}^r ai*Mi*（Mi^-1 mod mi) (c)是同余方程组(a)的一个解
+    对于任意1<=j<=r,都有\sigma_{i=1}^r ai*Mi*（Mi^-1 mod mi) mod mj = aj
+
+    (2) 再证明（b）是同余方程组(a)的模M唯一解
+    假定x1以及x2是（a）的不同解，即
+        x1 = ai mod mi，i=1，2，3,...,r
+        x2 = ai mod mi，i=1，2，3,...,r
+        x1 - x2 = 0 mod mi, i=1，2，3,...,r
+        即mi | (x1-x2), i=1，2，3,...,r
+        又因为m1,m2,m3,....mr两两互素，所以
+            M ｜(x1-x2)
+            x1 = x2 mod M
+    因此(b)是(a)的唯一解