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| 1 | +## [[POJ](http://poj.org/)] [[INDEX](https://github.com/lyy289065406/POJ-Solving-Reports)] [1840] [[Eqs](http://poj.org/problem?id=1840)] |
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| 3 | +> [Time: 5000MS] [Memory: 65536K] [难度: 初级] [分类: 高效查找法] |
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| 7 | +## 问题描述 |
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| 9 | +给出一个5元3次方程，输入其5个系数，求它的解的个数 |
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| 11 | +其中系数 `ai∈[-50,50]` 自变量 `xi∈[-50,0）∪（0,50]` |
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| 14 | +> **注意** ： 若 `x1=a, x2=b, x3=c, x4=d, x5=e` 时，与 `x1=b, x2=a, x3=c, x4=d, x5=e` 代入方程后都得到值0，那么他们视为不同的解。 |
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| 17 | +## 解题思路 |
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| 19 | +直观的思路：暴力枚举，O(n^5) |
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| 21 | +题目Time Limit=5000ms，1ms大约可以执行1000条语句，那么5000ms最多执行500W次 |
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| 23 | +每个变量都有100种可能值，那么暴力枚举，5层循环，就是要执行100^5=100E次，等着TLE吧。。。。 |
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| 27 | +**要AC这题，就要对方程做一个变形**： |
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| 31 | + |
| 32 | +即先枚举x1和x2的组合，把所有出现过的 左值 记录打表，然后再枚举x3 x4 x5的组合得到的 右值，如果某个右值等于已经出现的左值，那么我们就得到了一个解 |
| 33 | + |
| 34 | +时间复杂度从 O(n^5)降低到 O(n^2+n^3)，大约执行100W次 |
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| 37 | +------ |
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| 40 | +我们先定义一个映射数组 `hash[]`，初始化为0 |
| 41 | + |
| 42 | +对于方程左边，当 `x1=m`, `x2=n` 时得到sum，则把用 `hash[]` 记录sum : `hash[sum]++`，表示sum这个值出现了1次。 |
| 43 | + |
| 44 | +**之所以是记录“次数”，而不是记录“是否已出现”**， |
| 45 | + |
| 46 | +是因为我们**不能保证**函数的映射为 **1对1 映射**，更多的是存在 **多对1映射**。 |
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| 48 | +例如当 `a1=a2` 时，`x1=m`, `x2=n` 我们得到了sum，但 `x1=n`, `x2=m`时我们也会得到sum，但是我们说这两个是不同的解，这就是 多对1 的情况了，如果单纯记录sum是否出现过，则会使得 解的个数 减少。 |
| 49 | + |
| 50 | + |
| 51 | + |
| 52 | +其次，为了使得 搜索sum是否出现 的操作为o(1)，我们把sum作为下标，那么hash数组的上界就取决于a1 a2 x1 x2的组合，四个量的极端值均为50 |
| 53 | + |
| 54 | +因此上界为 `50*50^3+50*50^3=12500000`，由于sum也可能为负数，因此我们对 `hash[]` 的上界进行扩展，扩展到25000000，当 `sum<0` 时，我们令 `sum+=25000000` 存储到 `hash[]` |
| 55 | + |
| 56 | +由于数组很大，必须使用全局定义。 |
| 57 | + |
| 58 | +同时由于数组很大，用int定义必然会MLE，因此要用char或者short定义数组，推荐short。 |
| 59 | + |
| 60 | + |
| 61 | +## AC 源码 |
| 62 | + |
| 63 | + |
| 64 | +```c |
| 65 | +//Memory Time |
| 66 | +//49188K 532MS |
| 67 | + |
| 68 | +#include<iostream> |
| 69 | +using namespace std; |
| 70 | + |
| 71 | +short hash[25000001]; //hash[sum]表示值等于sum的的解的个数(多对1映射) |
| 72 | + |
| 73 | +int main(void) |
| 74 | +{ |
| 75 | + int a1,a2,a3,a4,a5; //系数 |
| 76 | + while(cin>>a1>>a2>>a3>>a4>>a5) |
| 77 | + { |
| 78 | + memset(hash,0,sizeof(hash)); |
| 79 | + |
| 80 | + for(int x1=-50;x1<=50;x1++) |
| 81 | + { |
| 82 | + if(!x1) |
| 83 | + continue; |
| 84 | + |
| 85 | + for(int x2=-50;x2<=50;x2++) |
| 86 | + { |
| 87 | + if(!x2) |
| 88 | + continue; |
| 89 | + int sum=(a1*x1*x1*x1 + a2*x2*x2*x2)*(-1); |
| 90 | + if(sum<0) |
| 91 | + sum+=25000000; |
| 92 | + hash[sum]++; |
| 93 | + } |
| 94 | + } |
| 95 | + |
| 96 | + int solution=0; |
| 97 | + |
| 98 | + for(int x3=-50;x3<=50;x3++) |
| 99 | + { |
| 100 | + if(!x3) |
| 101 | + continue; |
| 102 | + for(int x4=-50;x4<=50;x4++) |
| 103 | + { |
| 104 | + if(!x4) |
| 105 | + continue; |
| 106 | + for(int x5=-50;x5<=50;x5++) |
| 107 | + { |
| 108 | + if(!x5) |
| 109 | + continue; |
| 110 | + int sum=a3*x3*x3*x3 + a4*x4*x4*x4 + a5*x5*x5*x5; |
| 111 | + if(sum<0) |
| 112 | + sum+=25000000; |
| 113 | + if(hash[sum]) |
| 114 | + solution+=hash[sum]; |
| 115 | + } |
| 116 | + } |
| 117 | + } |
| 118 | + |
| 119 | + cout<<solution<<endl; |
| 120 | + } |
| 121 | + return 0; |
| 122 | +} |
| 123 | +``` |
| 124 | +
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| 125 | +------ |
| 126 | +
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| 127 | +## 版权声明 |
| 128 | +
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| 129 | + [-EXP%202016-blue.svg)](http://exp-blog.com) [](https://www.gnu.org/licenses/gpl-3.0) |
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| 132 | +- Site: [http://exp-blog.com](http://exp-blog.com) |
| 133 | +- Mail: <a href="mailto:[email protected]?subject=[EXP's Github]%20Your%20Question%20（请写下您的疑问）&body=What%20can%20I%20help%20you?%20（需要我提供什么帮助吗？）">[email protected]</a> |
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