POJ1201-Intervals

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[Time: 2000MS] [Memory: 65536K] [难度: 中级] [分类: 差分约束]

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问题描述

给出数轴上的n个区间 [ai，bi]，每个区间都是连续的int区间。

现在要在数轴上任意取一堆元素，构成一个元素集合V

要求每个区间 [ai，bi] 和元素集合V的交集至少有ci不同的元素

求集合V最小的元素个数。

解题思路

POJ1716 的升级版，只是边权不是固定，而是变化的而已

其实只要把 POJ1716 的 范围 和“固定边权2”改为ci 就能直接AC了

注意本题只能用差分约束+Relax解决，不能像 POJ1716 那样用贪心。

建议先去把我做 POJ1716 的方法看懂了，再来做这题，不过我还是重述一下思路：

设 s[x] = 从0到x 的所有在集合中的数的个数

则ai到bi的个数即 S[bi] - S[ai-1] 。

因此有

(1) S[bi] - S[ai-1] >= ci。

又根据s[x]本身的性质，后面的一定不比前面的小，后面的最多比前面多一，有：

(2) s[i + 1] - s[i] >= 0

(3) s[i + 1] - s[i] <= 1

故建图,使图中每一组边，均满足（注意三条式子的不等号方向要一致，这个很重要）:

• S[ai - 1] <= S[bi] - ci
• S[i] <= S[i - 1] + 1
• S[i - 1] <= S[i]

上面三式，可把 s[x] 看作源点（假设存在）到各点的最短距离，初始化为0；

常数为边 (ai – 1，bi)的边权

当存在不满足这三条式子的边时，对这条边进行Relax操作，更新不等号左边的变量。

其实就是Bellman-Ford算法的核心部分

• if( S[ai - 1] > S[bi] – 2 ) S[ai - 1] = S[bi] – ci;
• if( S[i] > S[i - 1] + 1 ) S[i] > S[i - 1] + 1;
• if( S[i - 1] > S[i] ) S[i - 1] = S[i];

最后源点到最大顶点的距离减去源点到最小顶点的距离就是所求（其实一个单位距离就代表V中的一个元素；最小顶点到最大顶点其实就是所有输入的区间中，最小的左端点到最大的右端点这个范围）。

注意，经过我测试，像POJ1716一样，本题变量的定义均要从全局定义，否则WA，什么原因我也不清楚（变量和数组的大小都只有50000，真是神了）

AC 源码

//Memory Time 
//996K  1141MS 

#include<iostream>
using namespace std;

const int inf=60000;

class
{
	public:
		int s,e;
}inter[50001];

int n; //区间数
int upli;
int doli; // UpLimit , Downlimit 上下限
int dist[50001];  //源点到各点的距离
int c[50001];  //边权

int main(int i,int j,int k)
{
	while(cin>>n)
	{
		upli=0;
		doli=inf;

		/*Input*/

		for(k=0;k<n;k++)
		{
			int a,b;
			cin>>a>>b>>c[k];
			inter[k].s=a;
			inter[k].e=b+1;

			if(doli>inter[k].s)  //寻找最小的顶点
				doli=inter[k].s;
			if(upli<inter[k].e)  //寻找最大的顶点，inter[k].e必大于inter[k].s，因此无需再与inter[k].s比较
				upli=inter[k].e;

			dist[k]=0; //初始化源点到各点的距离
		}

		/*Bellman-Ford:Relax*/

		bool flag=true;
		while(flag)
		{
			flag=false;
			for(i=0;i<n;i++)
				if(dist[ inter[i].s ]>dist[ inter[i].e ]-c[i])
				{
					dist[ inter[i].s ]=dist[ inter[i].e ]-c[i];
					flag=true;
				}

			for(j=doli;j<upli;j++)
				if(dist[j+1]>dist[j]+1)
				{
					dist[j+1]=dist[j]+1;
					flag=true;
				}

			for(j=upli-1;j>=doli;j--)
				if(dist[j]>dist[j+1])
				{
					dist[j]=dist[j+1];
					flag=true;
				}
		}
		cout<<dist[upli]-dist[doli]<<endl;
	}
	return 0;
}

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