POJ1006-Biorhythms

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[Time: 1000MS] [Memory: 10000K] [难度: 初级] [分类: 中国余数定理]

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问题描述

这题在POJ上有译文（原文右上角）。

解题思路

中国剩余定理，本题难点不在编程，而是分析题目并转化为数学公式

要引入本题解法，先来看一个故事 “韩信点兵”：

传说西汉大将韩信，由于比较年轻，开始他的部下对他不很佩服。有一次阅兵时，韩信要求士兵分三路纵队，结果末尾多2人，改成五路纵队，结果末尾多3人，再改成七路纵队，结果又余下2人，后来下级军官向他报告共有士兵2395人，韩信立即笑笑说不对（因2395除以3余数是1，不是2），由于已经知道士兵总人数在 2300~2400 之间，所以韩信根据 23，128，233，------，每相邻两数的间隔是105（3、5、7的最小公倍数），便立即说出实际人数应是 2333 人（因 2333=128+20χ105+105，它除以3余2，除以5余3，除以7余2）。这样使下级军官十分敬佩，这就是韩信点兵的故事。

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韩信点兵问题简化：已知 n%3=2, n%5=3, n%7=2, 求n。

再看我们这道题，读入p,e,i,d 4个整数

已知 (n+d)%23=p; (n+d)%28=e; (n+d)%33=i ,求n 。

两道题是一样的。但是韩信当时是如何计算出结果的？

韩信用的就是“中国剩余定理”，《孙子算经》中早有计算方法，大家可以查阅相关资料。

“韩信点兵”问题计算如下：

因为 n%3=2, n%5=3, n%7=2 且 3，5，7互质 （互质可以直接得到这三个数的最小公倍数）

令 x= n%3=2 ， y= n%5=3 ，z= n%7=2 ：

• 使 5×7×a 被3除余1，有 35×2=70，即 a=2；
• 使 3×7×b 被5除余1，用 21×1=21，即 b=1；
• 使 3×5×c 被7除余1，用 15×1=15，即 c=1。
• 那么 n =（70×x+21×y+15×z）%lcm(3,5,7) = 23 这是n的最小解

而韩信已知士兵人数在 2300~2400 之间，所以只需要 n+i×lcm(3,5,7) 就得到了2333，此时 i=22

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同样，这道题的解法就是：

已知 (n+d)%23=p; (n+d)%28=e; (n+d)%33=i

• 使 33×28×a 被23除余1，用 33×28×8=5544；
• 使 23×33×b 被28除余1，用 23×33×19=14421；
• 使 23×28×c 被33除余1，用 23×28×2=1288。
• 因此有 (5544×p+14421×e+1288×i)% lcm(23,28,33) = n+d

又23、28、33互质，即 lcm(23,28,33) = 21252;

所以有 n =（5544×p+14421×e+1288×i-d）% 21252

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本题所求的是最小整数解，避免n为负，因此最后结果为 n= [n+21252] % 21252

那么最终求解n的表达式就是：n=(5544*p+14421*e+1288*i-d+21252)%21252

当问题被转化为一条数学式子时，你会发现它无比简单。。。。直接输出结果了。

AC 源码

//Memory Time 
//256K   94MS 

#include<iostream>
using namespace std;

int main(void)
{
	int p,e,i,d;
	int time=1;
	while(cin>>p>>e>>i>>d)
	{
		if(p==-1 && e==-1 && i==-1 && d==-1)
			break;

		int lcm=21252;  // lcm(23,28,33)
		int n=(5544*p+14421*e+1288*i-d+21252)%21252;
		if(n==0)
			n=21252;
		cout<<"Case "<<time++<<": the next triple peak occurs in "<<n<<" days."<<endl;
	}
	return 0;
}

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